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　　本章主要內(nèi)容：

　　l 計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)描述，主要包括資料的位置指標(biāo)與離散指標(biāo)

　　l 計(jì)數(shù)資料的統(tǒng)計(jì)描述，主要包括率、構(gòu)成比、相對(duì)比等

　　2.1 計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)描述

　　2.1.1 頻數(shù)表(frequency table)

　　2.1.1.1 頻數(shù)表的概念及制作

　　制作頻數(shù)表是整理計(jì)量資料最常用的方法，現(xiàn)以實(shí)例介紹頻數(shù)表的制作方法。

　　例2.1 1999年，某飲料公司以街訪的方式對(duì)100名消費(fèi)者進(jìn)行了500ml瓶裝可樂(lè)的價(jià)格進(jìn)行了測(cè)試，關(guān)于問(wèn)題‘您認(rèn)為最合適的價(jià)格應(yīng)該是多少?’的回答，資料如下(單位：元)：

 

　　(1) 尋找資料中的最大值、最小值，計(jì)算極差

　　本例最大值M=3.22

　　最小值m=1.71

　　最大值與最小值之差稱(chēng)為極差，常用R表示

　　R=M-m=3.22-1.71=1.51

　　(2) 確定組距、組段數(shù)

　　頻數(shù)表一般設(shè)10~15個(gè)組段，觀察值少時(shí)可相對(duì)少些，組段數(shù)n多時(shí)可多些，

　　組段數(shù)為n，組距h，極差R有如下關(guān)系：

　　本例共100個(gè)數(shù)據(jù)，可分10個(gè)組段，n=10，則h=1.51/10=0.151»0.15

　　各個(gè)組段應(yīng)界限分明，每個(gè)組段的起點(diǎn)稱(chēng)為‘下限’(low limit)，終點(diǎn)稱(chēng)為‘上限’(upper limit)，各個(gè)組段從本組段的‘下限’開(kāi)始，不包括本組段的‘上限’;第一組應(yīng)包含資料中的最小觀測(cè)值，最后一組應(yīng)包含資料中的最大值;第一組從最小值開(kāi)始，或一個(gè)符合日常習(xí)慣的數(shù)值開(kāi)始，如，本例可從1.70開(kāi)始，第一組段為1.70~，第二組段為：1.85~，依次類(lèi)推，最后一個(gè)組段為，見(jiàn)表2.1第一列

　　(3) 掃描樣本值，劃計(jì)后獲得頻數(shù)

　　劃記的方法是，按行(或者按列)，從第一個(gè)原始數(shù)據(jù)開(kāi)始，逐一判斷該數(shù)據(jù)屬于哪一個(gè)組段，然后在相應(yīng)的組段作一個(gè)記號(hào)，本書(shū)采用‘*’作為記號(hào)。如：第一個(gè)數(shù)據(jù)‘2.67’，屬于第七個(gè)組段‘2.60~’，在相應(yīng)組段劃‘*’，第二個(gè)數(shù)據(jù)2.88，屬于第八個(gè)組段‘2.75’，在相應(yīng)組段‘2.75~’作記號(hào)‘*’，依次類(lèi)推，直至將所有的數(shù)據(jù)‘讀完’，得到表2.1的第二列，劃記完成，清點(diǎn)第二列每組段的‘*’數(shù)，得到相應(yīng)組段的頻數(shù)，記入第三列，第一、第三列即為做的頻數(shù)表。

　　表2.1 100名被訪者關(guān)于500ml可樂(lè)認(rèn)可價(jià)格的頻數(shù)表

　　從頻數(shù)表的制作過(guò)程可見(jiàn)，頻數(shù)表是反映原始數(shù)據(jù)在每一個(gè)組段數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻次的表格。

　　2.1.1.2 頻數(shù)表的用途

　　(1) 從表2.1可見(jiàn)，數(shù)據(jù)向組段‘2.45~’集中，以該組段周?chē)脑紨?shù)據(jù)居多，原始資料向某一數(shù)據(jù)段(或某一數(shù)據(jù))周?chē)募?、靠攏的特點(diǎn)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)為資料的集中趨勢(shì)。

　　(2) 從表2.1還可看到，原始數(shù)據(jù)有大有小，差異較大，最大值與最小值相差1.51，從1.71到3.22，從中央向兩側(cè)逐漸減少，而這種從小到大的分布特點(diǎn)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)為離散趨勢(shì)。

　　(3) 從表2.1還可看到，第一組段有2個(gè)數(shù)據(jù)，最后一個(gè)組段有1個(gè)數(shù)據(jù)，最小、與最大清楚地?cái)[在面前，有利于我們?nèi)ブ攸c(diǎn)監(jiān)督。

　　由此可見(jiàn)，頻數(shù)表至少有如下用途：

　　1)揭示資料的分布特征和分布類(lèi)型

　　2)便于發(fā)現(xiàn)某些特大、特小的可疑值

　　3)便于指標(biāo)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)分析

　　2.1.1.3 頻數(shù)分布的常見(jiàn)類(lèi)型

　　(1) 對(duì)稱(chēng)分布 表2.1是頻數(shù)表最常見(jiàn)的類(lèi)型，資料集中在某一數(shù)據(jù)的周?chē)?，左右兩?cè)對(duì)稱(chēng)，資料的這種分布，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)分布。

　　(2) 偏態(tài)分布 表2.2，資料偏向價(jià)格較大的一側(cè)，表2.3，資料偏向價(jià)格較小的一側(cè)，資料的這種分布稱(chēng)為偏態(tài)分布。其中，向大的一側(cè)偏向，稱(chēng)為正偏態(tài)分布;向小的一側(cè)偏向，稱(chēng)為負(fù)偏態(tài)分布。

　　表2.2 某資料的頻數(shù)表

　　表2.3 某資料的頻數(shù)表

　　2.1.2 資料的集中趨勢(shì)

　　平均數(shù)(average)：統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中最重要的一個(gè)指標(biāo)體系，常用于描述一組變量值的集中位置，代表平均水平。或者說(shuō)它是集中位置的特征值。

　　平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用要求資料必須具備同質(zhì)的基礎(chǔ)，否則，計(jì)算的指標(biāo)沒(méi)有實(shí)際意義，如：把電視價(jià)格與冰箱的價(jià)格放在一起相加，沒(méi)有任何意義。

　　常用的平均數(shù)包括：均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等，下面一一介紹。

　　2.1.2.1 均數(shù)(mean)

　　均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)，其計(jì)算是將觀測(cè)值相加，然后除以資料的個(gè)數(shù)，是最常用的平均數(shù)的計(jì)算方法，反映一組觀測(cè)值在數(shù)量上的平均水平。

　　(1) 計(jì)算公式

　　假定觀測(cè)值為x1、x2、 … xn，公式為

                                                             　(2.1)

　　如：5家商店21英寸的彩電的銷(xiāo)售價(jià)格分別為：1038、995、1120、1080、1088，則五家商店的平均價(jià)格(均數(shù))為

　　由于公式(2.1)按照算術(shù)平均數(shù)的定義直接計(jì)算，公式所表達(dá)的含義也比較清楚，故稱(chēng)之為直接法。當(dāng)資料中相同的觀測(cè)值較多時(shí)，可將相同觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，即頻數(shù)f，乘以該觀測(cè)值X，以代替該觀測(cè)值逐個(gè)相加，如：資料中有5家商店價(jià)格均為1088，則在計(jì)算時(shí)，不必：1088+1088+1088+1088+1088=5440，而直接用5乘1088即可：1088´5=5440，頻數(shù)5在統(tǒng)計(jì)學(xué)上也稱(chēng)為權(quán)重，由此得到計(jì)算均數(shù)的‘加權(quán)法’公式：

                                                                      (2.2)

　　例：見(jiàn)表2.1，計(jì)算100名消費(fèi)者對(duì)500ml瓶裝可樂(lè)的平均價(jià)格

　　計(jì)算表2.1中每組的組中值，計(jì)算方法是：將每組的上限與下限相加，然后除以2，如：第一組，下限為1.70，上限為1.85，組中值為(1.70+1.85)/2=1.775，結(jié)果見(jiàn)表中第三列。組中值是屬于該組段的原始數(shù)據(jù)的代表，如，第一組段有2個(gè)數(shù)據(jù)，我們可以認(rèn)為，這兩個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)均為1.775，然后計(jì)算每一組段的觀測(cè)數(shù)據(jù)的代數(shù)和，即組中值乘以相應(yīng)頻數(shù)，得第四列數(shù)據(jù)，將第四列相加，得所有觀測(cè)值的代數(shù)和，由公式(2.2)計(jì)算出均數(shù)為：2.50(元)

　　表2.4 100名消費(fèi)者對(duì)500ml瓶裝可樂(lè)的平均認(rèn)可價(jià)格的計(jì)算

　　均數(shù)的兩個(gè)重要特性：

　　各離均差的代數(shù)和等于0，即

 

　　離均差為每個(gè)觀測(cè)值與均數(shù)的差值，即： ，反映每一個(gè)個(gè)體觀測(cè)值相對(duì)與均數(shù)的離散情況。如：第一家商店彩電價(jià)格為1038元，相對(duì)與平均價(jià)格1064.2元，離均差為：1038-1064.2= -26.2，既，第一家商店比平均價(jià)格低26.2元。

　　(2)離均差的平方和小于各觀測(cè)值與任何數(shù)之差的平方和。

　　應(yīng)用范圍：均數(shù)反映全部觀測(cè)值的平均水平，因而應(yīng)用非常廣泛。但它最適用于對(duì)稱(chēng)分布資料，尤其正態(tài)分布資料。

　　2.1.2.2 幾何均數(shù)(geometric)

　　計(jì)算方法：

　

　　(1)直接法：

　　(2)加權(quán)法：

　　2.1.2.3 中位數(shù)(median)

　　將一組觀察值按從小到大順序排列，位次居中的觀察值稱(chēng)為中位數(shù)。全部觀察值中，大于和小于中位數(shù)的觀察值個(gè)數(shù)相等，常用M表示。

　　計(jì)算公式：資料按從小到大的順序排序x1£x2£ … £xn

　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

　　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

　　如：調(diào)查了5家工廠的職工數(shù)，分別為：15，30，61，180，500，中位數(shù)M=61人;若調(diào)查了6家，分別為：15，30，61，100，180，500，則中位數(shù)M=(61+100)/2=80.5(人)

　　2.1.2.4 眾數(shù)(mode)

　　全部觀察值中，出現(xiàn)頻率最多的那個(gè)觀察值稱(chēng)為眾數(shù)。

　　在推出400ml洗發(fā)水前，某企業(yè)舉行了一場(chǎng)有關(guān)其價(jià)格定位的座談會(huì)，8位專(zhuān)家中有5位認(rèn)為該產(chǎn)品定價(jià)應(yīng)為35元，則8個(gè)調(diào)查數(shù)據(jù)中35出現(xiàn)的頻次最高，因此其眾數(shù)為：35元。

　　2.1.2.5 百分位數(shù)(percentile)

　　百分位數(shù)是位置指標(biāo)，以Px表示。Px將總體分成兩部分，理論上有x%的觀察值比它小，(100-x)%的觀察值比它大，中位數(shù)是特殊的百分位數(shù)。

　　利用頻數(shù)表計(jì)算百分位數(shù)的公式為：

　　式中fx為Px所在組段的頻數(shù)，i為該組段的組距，L為其下限，SfL為小于L的個(gè)組段的累計(jì)頻數(shù)。

　　例，某資料的頻數(shù)分布見(jiàn)表2.5，首先計(jì)算頻率，樣本含量為114，每一組段的頻數(shù)除以樣本含量得該組段的頻率，見(jiàn)第三列，每一組段的頻數(shù)加上前面各組段的頻數(shù)，得該組段的累計(jì)頻數(shù)，見(jiàn)第四列。

　　(1) 計(jì)算百分之25位數(shù)P25，從表2.5第五列可見(jiàn)，從第一組段至第二組段，即從1.70至2.00(不包括2.00)，共含有樣本總數(shù)21.93%的個(gè)體，從第一組至第三組，共含有總數(shù)38.6%的個(gè)體，根據(jù)百分位數(shù)的定義，P25應(yīng)在第三組段的范圍內(nèi)，因此，L=2.00，i=0.15，fx=19，SfL=21.93 又n=114，x%=25%

　　由公式，

　　同理，可計(jì)算P50，即中位數(shù)M及P75

　　表2.5 百分位數(shù)的計(jì)算

　　2.1.3 離散趨勢(shì)

　　2.1.3.1 極差(range，簡(jiǎn)記為R)

　　一組資料中，最大值與最小值之差稱(chēng)為極差，常用R表示。用M表示最大值，m表示最小值，計(jì)算公式為：

　　R=M-m

　　如：某資料，最大值M=3.22，最小值m=1.71，則極差R=3.22 - 1.71=1.51

　　優(yōu)點(diǎn)：利用極差來(lái)說(shuō)明資料變異度的大小，簡(jiǎn)單明了，在資料描述時(shí)經(jīng)常用到。

　　缺點(diǎn)：除最大、最小值外，不能反映其它數(shù)據(jù)的變異情況;不夠穩(wěn)定，當(dāng)樣本量相差懸殊時(shí)，不宜進(jìn)行樣本間變異度的比較。

　　2.1.3.2 四分位數(shù)間距(quartile,Q)

　　P25位數(shù)，表示全部觀測(cè)值中，四分之一的觀測(cè)值比它小;P75，表示四分之一的觀測(cè)值比它大，因而稱(chēng)P25、P75為四分位數(shù)，其中P25為下四分位數(shù)，常用QL表示，P75為上百分位數(shù)，常用QU表示

　　Q=QU-QL=P75 - P25

　　如：前面的例題中，QL P25=2.03，QU =P75=2.40，則：

　　Q=QU-QL=2.40-2.03=1.3

　　優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)同極差類(lèi)似，四分位數(shù)間距比極差穩(wěn)定。

　　2.1.3.3 方差(variance)

　　用極差或四分位數(shù)間距來(lái)描述資料的變異情況，僅用到資料中的兩個(gè)數(shù)據(jù)，不能反映其他資料的情況，為反映資料中的所有個(gè)體對(duì)變異度的影響，研究中首先想到了離均差這一指標(biāo)。以均數(shù)為m的總體為例，離均差之和即S(x-m)=0，自然想到將每一個(gè)觀測(cè)值的離均差平方后再相加(稱(chēng)為離均差平方和，英文：sum of squares，簡(jiǎn)記為SS或lxx)，即計(jì)算S(x-m)2，由于其大小還與個(gè)體的數(shù)目有關(guān)，故將其除以變量值的個(gè)數(shù)N后，得到描述總體變異的指標(biāo)---方差，公式為：

                               　(2.09)

　　公式(2.09)稱(chēng)為總體方差，對(duì)樣本而言，數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明，方差為：

                                          　(2.10)

　　加權(quán)公式為：

                                    　(2.11)

　　公式(2.10)稱(chēng)為樣本方差，其中n-1稱(chēng)為自由度(degree of freedom)。

　　例，計(jì)算例2.1資料的標(biāo)準(zhǔn)差

　　由表2.1，åfx=250.85，åfx2=640.19 n=åf=100，代入公式(2.11)

　　關(guān)于方差的分子部分，即離均差平方和，還可以寫(xiě)成如下表達(dá)式：

            　(2.12)

　　2.1.3.4 標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)

　　方差的單位是原單位的平方，將之開(kāi)方后，即得常用于描述資料變異度的指標(biāo)—標(biāo)準(zhǔn)差，總體標(biāo)準(zhǔn)差用s，樣本用S表示，計(jì)算公式分別為

                        　(2.13)

                       　(2.14)

　　例2.1資料的標(biāo)準(zhǔn)差S為

　　2.1.3.5 變異系數(shù)(coefficient of variation， 簡(jiǎn)記為CV)

　　變異系數(shù)亦稱(chēng)離散系數(shù)(coefficient of dispersion)，計(jì)算方法是將標(biāo)準(zhǔn)差S與均數(shù) 的比值，公式為：

　　應(yīng)用：(1)度量衡不同的資料間變異度的比較

　　(2)均數(shù)相差懸殊的資料間的比較

　　2.2 分類(lèi)資料的統(tǒng)計(jì)描述

　　2.2.1 常用相對(duì)數(shù)

　　2.2.1.1 率(rate)

　　率，又稱(chēng)頻率指標(biāo)，它說(shuō)明某現(xiàn)象發(fā)生的頻率或強(qiáng)度。

　　如：調(diào)查了100間零售店，其中35間有某產(chǎn)品出售，則該產(chǎn)品的鋪貨率為：

　　在有關(guān)洋酒的調(diào)查中，100名被訪者中有85人知道馬爹利，則馬爹利的知名度為：

　　2.2.1.2 構(gòu)成比(proportion)

　　構(gòu)成比又稱(chēng)構(gòu)成指標(biāo)，它說(shuō)明一事物內(nèi)部各組成

　　部分所占的比重或分布，常以百分?jǐn)?shù)表示。

　　如：調(diào)查了100名被訪者，其中大專(zhuān)及以上學(xué)歷者55人，則100名被訪者中，大專(zhuān)及以上學(xué)歷人員占的比例為：

　　2.2.1.3 相對(duì)比(ratio)

　　相對(duì)比簡(jiǎn)稱(chēng)比，是兩個(gè)相關(guān)指標(biāo)之比，說(shuō)明兩個(gè)指標(biāo)的相對(duì)水平。計(jì)算公式為：

　　例：某品牌，在上海的知名度P1=0.65，在廣州為P2=0.38，則該品牌的知名度上海相對(duì)與廣州的相對(duì)比為：

　　廣州相對(duì)與上海的相對(duì)比為：

　　2.2.2 顧客滿(mǎn)意表征指標(biāo)(舉例)

　　2.2.2.1 知曉度

　　知曉度=知曉人數(shù)/目標(biāo)公眾

　　2.2.2.2 知名度

　　(1)絕對(duì)知名度=認(rèn)為企業(yè)或產(chǎn)品有名氣的人數(shù)/目標(biāo)公眾

　　(2)相對(duì)知名度=認(rèn)為企業(yè)或產(chǎn)品有名氣的人數(shù)/知曉人數(shù)

　　2.2.2.3 美譽(yù)度

　　(1)絕對(duì)美譽(yù)度=褒揚(yáng)者人數(shù)/目標(biāo)公眾

　　(2)相對(duì)美譽(yù)度=揚(yáng)者人數(shù)/知曉人數(shù)

　　2.2.2.4 指名度

　　(1)絕對(duì)指名度=指名消費(fèi)人數(shù)/目標(biāo)公眾

　　(2)相對(duì)指名度=指名消費(fèi)人數(shù)/知曉人數(shù)

　　2.2.2.5 滿(mǎn)意度

　　(1)絕對(duì)滿(mǎn)意度=滿(mǎn)意人數(shù)/目標(biāo)公眾

　　(2)相對(duì)滿(mǎn)意度=滿(mǎn)意人數(shù)/消費(fèi)人數(shù)

　　2.2.3 動(dòng)態(tài)數(shù)列及其分析指標(biāo)

　　動(dòng)態(tài)數(shù)列(dynamic series)是一系列按時(shí)間順序排列起來(lái)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，包括絕對(duì)數(shù)、相對(duì)數(shù)或平均數(shù)，用以說(shuō)明事物在時(shí)間上的變化和發(fā)展趨勢(shì)。

　　現(xiàn)以實(shí)例介紹常用指標(biāo)及其計(jì)算。

　　例，表3.1第(2)列給出了某公司1996~2000年凈資產(chǎn)資料，現(xiàn)分析該公司該公司凈資產(chǎn)逐年變化特點(diǎn)。

　　表3.1 某公司1996~2000年凈資產(chǎn)資料分析表

　　2.2.3.1 絕對(duì)增長(zhǎng)量 說(shuō)明事物在一定時(shí)期所增加的絕對(duì)的數(shù)量。絕對(duì)增長(zhǎng)量常計(jì)算累計(jì)增長(zhǎng)量、逐年增長(zhǎng)量

　　(1) 累計(jì)增長(zhǎng)量 以某年作為比較對(duì)象(基期)，其它年份與其相減，所得差值即為累計(jì)增長(zhǎng)量。

　　本例以1996年數(shù)據(jù)作為基數(shù)，如：1998年凈資產(chǎn)累計(jì)增長(zhǎng)量為：2500-2100=400(萬(wàn)元)，其余年份的累計(jì)增長(zhǎng)量見(jiàn)表3.1第(3)列。

　　(2) 逐年增長(zhǎng)量 以下一年的數(shù)據(jù)與上一年的數(shù)據(jù)相減，所得差值即為逐年增長(zhǎng)量。

　　本例以1997年凈資產(chǎn)為2500萬(wàn)元，1998年為3100萬(wàn)元，1998年相對(duì)于1997年增長(zhǎng)量為：3100-2500=600(萬(wàn)元)，其余年份的逐年增長(zhǎng)量見(jiàn)表3.1第(4)列。

　　2.2.3.2 發(fā)展速度和增長(zhǎng)速度

　　發(fā)展速度和增長(zhǎng)速度常計(jì)算的指標(biāo)是定基比、環(huán)比，增長(zhǎng)速度=發(fā)展速度-1。

　　(1) 定基比，針對(duì)某一時(shí)間序列，統(tǒng)一用某個(gè)時(shí)間的指標(biāo)作基數(shù)，以各時(shí)間的指標(biāo)與之相比。反映變化的發(fā)展趨勢(shì)。

　　如：以1996年凈資產(chǎn)2100萬(wàn)元作為基數(shù)，1998年為3100萬(wàn)元，1998年相對(duì)于1996年的發(fā)展速度(定基比)為：

　　1998年對(duì)1996年增長(zhǎng)速度(定基比)為：

　　增長(zhǎng)速度亦可由發(fā)展速度計(jì)算：

　　

　　其他時(shí)期的定基比見(jiàn)表3.1第(5)、(7)列。

　　(2) 環(huán)比，針對(duì)某一時(shí)間序列，以前一個(gè)時(shí)間的指標(biāo)作基數(shù)，以相鄰

　　的后一時(shí)間的指標(biāo)與之相比。反映年度間的波動(dòng)。

　　如：以1997年凈資產(chǎn)2500萬(wàn)元作為基數(shù)，1998年為3100萬(wàn)元，1998年的環(huán)比發(fā)展速度為：

　　1998年的環(huán)比年增長(zhǎng)速度為：

　　增長(zhǎng)速度亦可由發(fā)展速度計(jì)算：

　　其他時(shí)期的環(huán)比指標(biāo)見(jiàn)表3.1第(6)、(8)列。

　　2.2.3.3 平均發(fā)展速度/增長(zhǎng)速度

　　平均發(fā)展速度/增長(zhǎng)速度用于概括某一時(shí)期的速度的變化，計(jì)算公式如下：

　　假定基期數(shù)據(jù)為a0,各時(shí)期數(shù)據(jù)如下：a0、a1、a2、a3、…、an，an為第n的指標(biāo)數(shù)據(jù)，則

　　平均發(fā)展速度

　　平均增長(zhǎng)速度=平均發(fā)展速度-1

　　如：以1996年為基期，1999年凈資產(chǎn)為2800萬(wàn)元，則a0=2100，n=3,a3=2800, 平均發(fā)展速度為：

　　平均增長(zhǎng)速度=平均發(fā)展速度-1=110.1%-1=10.1%

　　自1996年至1999年，凈資產(chǎn)平均發(fā)展速度為110.1%，平均增長(zhǎng)速度為10.1%。

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